SimpleMedics
Медицина и наука
Приведение формул обращения томографической реконструкции в конусе лучей к виду, позволяющему строить численные алгоритмы.
Траектория в виде двух окружностей.
Рассмотрим окружность, лежащую в плоскости z =0.
Направление оси p2 в плоскости регистрации будет совпадать с направлением оси z.
Ось p1 системы координат возьмем на линии пересечения плоскости регистрации с плоскостью, содержащей окружность, по которой движется источник. Для окончательного определения системы координат необходимо выбрать одно из двух возможных направлений оси p1. Если s3 = 0, s1 = r cosl , s2 = r sinl (источник движется в плоскости z =0), то положительный единичный вектор на оси p1 выберем так, чтобы он совпадал с вектором (cos(l +p /2), sin(l +p /2), 0) = (-sinl , cosl , 0) = (-s2/½ S½ , s1/½ S½ , 0).
Точка, имеющая в плоскости регистрации координаты (p1, p2), имеет следующие пространственные координаты:
x = -p1 sinl - r cosl = -p1 s2 /½ S½ - s1 ,
y = p1 cos l - r sinl = p1 s1 /½ S½ - s2 , z = p2.
В случае плоского детектора, исходными данными являются интегралы по лучам, соединяющим точки (p1, p2) в плоскости регистрации с источником S.
Регистрируемая функция gr(p1, p2, l ) есть интеграл от искомой функции f(x) = f(x1, x2, x3) вдоль луча исходящего из точки S = (s1, s2, s3) = (rcosl , r sinl , 0) в направлении точки
P = (-p1 sin l - rcosl , p1 cosl - r sinl , p2 ) = (-p1 s2/½ S½ v s1, p1 s1/½ S½ v s2, p2).
Интегральная форма регистрируемой функции имеет вид:
При t = 0 луч проходит через точку S = (rcosl , rsinl , 0), при t = 1 v через точку P = (p1, p2) = (-p1 sin l - rcosl , p1 cosl - r sinl , p2).
Итак, мы имеем соотношение между функциями gr(p1, p2, l ) и :
,
.
Наряду с обозначением gr(p1, p2, l ), мы будем использовать обозначения gr(p1, p2, S(l )), gr(p1, p2, S) и gr(P, S) , здесь S(l ) точка на траектории источника, соответствующая параметру l , P = (p1, p2). Мы выразили функцию gr(p1, p2, l ) через функцию = g+ (x , l ).
В формуле обращения лучевого преобразования используется функция g+ (x , l ) = для того, чтобы использовать gr(p1, p2, l ), регистрируемую в случае плоского детектора, нужно выразить g+ (x , l ) используя gr(p1, p2, l ).
Для дальнейшего нам потребуются координаты (p1, p2) (в системе координат плоскости регистрации) точки пересечения плоскости регистрации данных с лучем (S +tx ) = (s1 + tx 1, s2 + tx 2, s3 + tx 3). Эти координаты имеют вид:
.
.
Теперь мы можем выразить используя gr(p1, p2, l ):
= g+ (x , l ) = gr(2 ½ S(l )½ (s2(l )x 1 v s1(l )x 2) /, -2½ S(l )½ 2x 3 /,l ),
если < 0, = 0, если ³ 0.
Итак, мы имеем следующее соотношение между функциями:
g+ (P, l ) и = g+ (x , l ); P = (p1, p2), x = (x 1, x 2, x 3,);
Узнайте больше ...
Как мышление влияет на здоровье
Люди тратят много денег и времени, стараясь
продлить свою жизнь. Мы прилагаем огромные усилия, пытаясь избежать стрессов,
последствий переедания и загрязнения атмосферы. Но способ нашего мышления
влияет на здоровье гораздо больше, чем любой из этих факторов.
Люди тратят огромное количество денег и
времени, стараясь продлить свою жизнь и сделать ее более здоровой ...